SATHEE: Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 5

Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 5

5. Let $f_{k} (x) = \frac{1}{k} (\sin^{k} x + \cos^{k} x)$ for $k = 1, 2, 3 \dots$ . Then, for all $x \in R$ , the value of $f_{4} (x) - f_{6} (x)$ is equal to

(a) $\frac{1}{12}$

(b) $\frac{5}{12}$

(d) $\frac{1}{4}$

(2019 Main, 11 Jan I)

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Answer:

Correct Answer: 5. (b)

Solution:

We have,

$\begin{aligned} f_{k} (x) & = \frac{1}{k} (\sin^{k} x + \cos^{k} x), k = 1, 2, 3, \dots \\ ∴ f_{4} (x) & = \frac{1}{4} (\sin^{4} x + \cos^{4} x) \\ = \frac{1}{4} ({(\sin^{2} x + \cos^{2} x)}^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x) \\ = \frac{1}{4} 1 - \frac{1}{2} (\sin 2 x)^{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} \sin^{2} 2 x \end{aligned}$

and $f_{6} (x) = \frac{1}{6} (\sin^{6} x + \cos^{6} x)$

$$ =\frac{1}{6}{\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)^{3}-3 \sin ^{2} x \cos ^{2} x\right. $$

$Extra close brace or missing open brace$

$= \frac{1}{6} 1 - \frac{3}{4} (2 \sin x \cos x)^{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \sin^{2} 2 x$

Now, $f_{4} (x) - f_{6} (x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$

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Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 5

5. Let $f_{k} (x) = \frac{1}{k} (\sin^{k} x + \cos^{k} x)$ for $k = 1, 2, 3 \dots$ . Then, for all $x \in R$ , the value of $f_{4} (x) - f_{6} (x)$ is equal to

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Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 5

5. Let fk(x)=1k(sink⁡x+cosk⁡x) for k=1,2,3…. Then, for all x∈R, the value of f4(x)−f6(x) is equal to

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5. Let $f_{k} (x) = \frac{1}{k} (\sin^{k} x + \cos^{k} x)$ for $k = 1, 2, 3 \dots$ . Then, for all $x \in R$ , the value of $f_{4} (x) - f_{6} (x)$ is equal to