SATHEE: Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 24

Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 24

24. The value of

$\sin \frac{π}{14} \cdot \sin \frac{3 π}{14} \cdot \sin \frac{5 π}{14} \cdot \sin \frac{7 π}{14} \cdot \sin \frac{9 π}{14} \cdot \sin \frac{11 π}{14} \cdot \sin \frac{13 π}{14}$

is equal to

(1991, 2M)

Analytical & Descriptive Questions

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Solution:

$\sin \frac{π}{14} \cdot \sin \frac{3 π}{14} \cdot \sin \frac{5 π}{14} \cdot \sin \frac{7 π}{14} \cdot \sin \frac{9 π}{14} \cdot \sin \frac{11 π}{14} \cdot \sin \frac{13 π}{14}$ $= \sin \frac{π}{14} \cdot \sin \frac{3 π}{14} \cdot \sin \frac{5 π}{14} \cdot \sin π - \frac{5 π}{14}$ $\cdot \sin π - \frac{3 π}{14} \cdot \sin π - \frac{π}{14}$

$= \sin^{2} \frac{π}{14} \cdot \sin^{2} \frac{3 π}{14} \cdot \sin^{2} \frac{5 π}{14} = \sin \frac{π}{14} \cdot \sin \frac{3 π}{14} \cdot \sin {\frac{5 π}{14}}^{2}$

$= \cos \frac{π}{2} - \frac{π}{14} \cdot \cos \frac{π}{2} - \frac{3 π}{14} \cdot \cos \frac{π}{2} - \frac{5 π}{14}$

$= \cos \frac{3 π}{7} \cdot \cos \frac{2 π}{7} \cdot \cos {\frac{π}{7}}^{2}$

$= - \cos \frac{π}{7} \cdot \cos \frac{2 π}{7} \cdot \cos \frac{4 π}{7}^{2}$

$= - \frac{\sin 2^{3} π / 7}{2^{3} \cdot \sin π / 7}$

$= - \frac{1}{8} \cdot {\frac{\sin 8 π / 7}{\sin π / 7}}^{2} ∵ \sin \frac{8 π}{7} = \sin π + \frac{π}{7} = - \sin \frac{π}{7}$

$= 1 / 64$

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