SATHEE: Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 2

Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 2

2. The value of $\cos^{2} 10^{\circ} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \cos^{2} 50^{\circ}$ is

(a) $\frac{3}{2} (1 + \cos 20^{\circ})$

(b) $\frac{3}{4} + \cos 20^{\circ}$

(c) $3 / 2$

(d) $3 / 4$

(2019 Main, 9 April I)

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Answer:

Correct Answer: 2. (a)

Solution:

We have, $\cos^{2} 10^{\circ} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \cos^{2} 50^{\circ}$

$\begin{aligned} = \frac{1}{2} [2 \cos^{2} 10^{\circ} - 2 \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + 2 \cos^{2} 50^{\circ}] \\ = \frac{1}{2} [1 + \cos 20^{\circ} - (\cos 60^{\circ} + \cos 40^{\circ}) + 1 + \cos 100^{\circ}] \\ [∵ 2 \cos^{2} A = 1 + \cos 2 A and \\ 2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A - B)] \end{aligned}$

$\begin{aligned} = \frac{1}{2} 2 + \cos 20^{\circ} + \cos 100^{\circ} - \frac{1}{2} - \cos 40^{\circ} ∵ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{3}{2} + (\cos 20^{\circ} - \cos 40^{\circ}) + \cos 100^{\circ} \\ = \frac{1}{2} \frac{3}{2} - 2 \sin \frac{20^{\circ} + 40^{\circ}}{2} \sin \frac{20^{\circ} - 40^{\circ}}{2} + \cos 100^{\circ} \\ ∵ \cos C - \cos D = - 2 \sin \frac{C + D}{2} \sin \frac{C - D}{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{3}{2} - 2 \sin 30^{\circ} \sin (- 10^{\circ}) + \cos (90^{\circ} + 10^{\circ}) \\ = \frac{1}{2} \frac{3}{2} + \sin 10^{\circ} - \sin 10^{\circ} [∵ \cos (90^{\circ} + θ) = - \sin θ] \\ = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \end{aligned}$

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