SATHEE: Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 18

Trigonometrical Ratios and Identities 1 Question 18

18. Let $f : (- 1, 1) \to R$ be such that $f (\cos 4 θ) = \frac{2}{2 - \sec^{2} θ}$ for $θ \in 0, \frac{π}{4} \cup \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$ . Then, the value(s) of $f \frac{1}{3}$ is/are

(a) $1 - \sqrt{\frac{3}{2}}$

(b) $1 + \sqrt{\frac{3}{2}}$

(c) $1 - \sqrt{\frac{2}{3}}$

(d) $1 + \sqrt{\frac{2}{3}}$

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Answer:

Correct Answer: 18. $A \to r; B \to p$

Solution:

$\begin{aligned} f (\cos 4 θ) & = \frac{2}{2 - \sec^{2} θ} \\ At \cos 4 θ & = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow 2 \cos^{2} 2 θ - 1 & = \frac{1}{3} \\ \Rightarrow & \cos^{2} 2 θ & = \frac{2}{3} \\ \Rightarrow & \cos 2 θ & = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \\ ∴ & f (\cos 4 θ) & = \frac{2 \cdot \cos^{2} θ}{2 \cos^{2} θ - 1} \\ = \frac{1 + \cos 2 θ}{\cos 2 θ} \\ \Rightarrow f & = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \end{aligned}$

[from Eq. (ii)]

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