SATHEE: Trigonometrical Equations 2 Question 3

Trigonometrical Equations 2 Question 3

3. Let $θ, φ \in [0, 2 π]$ be such that $2 \cos θ (1 - \sin φ) = \sin^{2} θ$ $\tan \frac{θ}{2} + \cot \frac{θ}{2} \cos φ - 1, \tan (2 π - θ) > 0$ and $- 1 < \sin θ < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Then, $φ$ cannot satisfy

(2012)

(a) $0 < φ < \frac{π}{2}$

(b) $\frac{π}{2} < φ < \frac{4 π}{3}$

(d) $\frac{3 π}{2} < φ < 2 π$

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Answer:

Correct Answer: 3. $(a, c, d)$

Solution:

PLAN It is based on range of $\sin x$ , i.e. $[- 1, 1]$ and the internal for $a < x < b$ .

Description of Situation As $θ, φ \in [0, 2 π]$ and $\tan (2 π - θ) > 0, - 1 < \sin θ < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\tan (2 π - θ) > 0$ $- \tan θ > 0$

$\Rightarrow θ \in I I$ or IV quadrant.

Also, $- 1 < \sin θ < - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow \frac{4 π}{3} < θ < \frac{5 π}{3}$ but $θ \in$ II or IV quadrant

$\Rightarrow \frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{3}$

Here, $2 \cos θ (1 - \sin φ) = \sin^{2} θ \tan \frac{θ}{2} + \cot \frac{θ}{2} \cos φ - 1$

$\Rightarrow 2 \cos θ - 2 \cos θ \sin φ = \sin^{2} θ \frac{\sin^{2} \frac{θ}{2} + \cos^{2} \frac{θ}{2}}{\sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}} \cos φ - 1$

$\Rightarrow 2 \cos θ - 2 \cos θ \sin φ = 2 \sin^{2} θ \frac{1}{\sin θ} \cos φ - 1$

$\Rightarrow 2 \cos θ + 1 = 2 \sin φ \cos θ + 2 \sin θ \cos φ$

$\Rightarrow 2 \cos θ + 1 = 2 \sin (θ + φ)$

From Eq. (i), $\frac{3 π}{2} < θ < \frac{5 π}{3}$

$\Rightarrow 2 \cos θ + 1 \in (1, 2)$

$∴ 1 < 2 \sin (θ + φ) < 2$

$\Rightarrow \frac{1}{2} < \sin (θ + φ) < 1$

$\Rightarrow \frac{π}{6} < θ + φ < \frac{5 π}{6}$

or $\frac{13 π}{6} < θ + φ < \frac{17 π}{6}$

$∴ \frac{π}{6} - θ < φ < \frac{5 π}{6} - θ$

or $\frac{13 π}{6} - θ < φ < \frac{17 π}{6} - θ$

$\Rightarrow φ \in - \frac{3 π}{2}, - \frac{2 π}{3}$ or $\frac{2 π}{3}, \frac{7 π}{6}$ , as $θ \in \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{3}$

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Trigonometrical Equations 2 Question 3

3. Let $θ, φ \in [0, 2 π]$ be such that $2 \cos θ (1 - \sin φ) = \sin^{2} θ$ $\tan \frac{θ}{2} + \cot \frac{θ}{2} \cos φ - 1, \tan (2 π - θ) > 0$ and $- 1 < \sin θ < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Then, $φ$ cannot satisfy

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Trigonometrical Equations 2 Question 3

3. Let θ,φ∈[0,2π] be such that 2cos⁡θ(1−sin⁡φ)=sin2⁡θ tan⁡θ2+cot⁡θ2cos⁡φ−1,tan⁡(2π−θ)>0 and −1<sin⁡θ<−32. Then, φ cannot satisfy

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3. Let $θ, φ \in [0, 2 π]$ be such that $2 \cos θ (1 - \sin φ) = \sin^{2} θ$ $\tan \frac{θ}{2} + \cot \frac{θ}{2} \cos φ - 1, \tan (2 π - θ) > 0$ and $- 1 < \sin θ < - \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Then, $φ$ cannot satisfy