SATHEE: Trigonometrical Equations 1 Question 13

Trigonometrical Equations 1 Question 13

13. Let $n$ be an odd integer. If $\sin n θ = \sum_{r = 0}^{n} b_{r} \sin^{r} θ$ , for every value of $θ$ , then

(1998, 2M)

(a) $b_{0} = 1, b_{1} = 3$

(b) $b_{0} = 0, b_{1} = n$

(d) $b_{0} = 0, b_{1} = n^{2} - 3 n + 3$

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Answer:

Correct Answer: 13. (c)

Solution:

Given, $\sin n θ = \sum_{r = 0}^{n} b_{r} \sin^{r} θ$

Now, put $θ = 0$ , we get $0 = b_{0}$

$∴ \sin n θ = \sum_{r = 1}^{n} b_{r} \sin^{r} θ$

$\Rightarrow \frac{\sin n θ}{\sin θ} = \sum_{r = 1}^{n} b_{r} (\sin θ)^{r - 1}$

Taking limit as $θ \to 0$

$\Rightarrow lim_{θ \to 0} \frac{\sin n θ}{\sin θ} = lim_{θ \to 0} \sum_{r = 1}^{n} b_{r} (\sin θ)^{r - 1}$

$\Rightarrow lim_{θ \to 0} \frac{n θ \cdot \frac{\sin n θ}{n θ}}{θ \cdot \frac{\sin θ}{θ}} = b_{1} + 0 + 0 + 0 + \dots$

$[∵$ other values becomes zero for higher powers of $\sin θ$ ]

$\begin{aligned} \Rightarrow & \frac{n \cdot 1}{1} & = b_{1} \\ \Rightarrow & b_{1} & = n \end{aligned}$

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