SATHEE: Trigonometrical Equations 1 Question 11

Trigonometrical Equations 1 Question 11

11. Let $S = x \in (- π, π) : x \neq 0, \pm \frac{π}{2}$ . The sum of all distinct solutions of the equation $\sqrt{3} \sec x + cosec x$ $+ 2 (\tan x - \cot x) = 0$ in the set $S$ is equal to

(2016 Adv.)

(a) $- \frac{7 π}{9}$

(b) $- \frac{2 π}{9}$

(c) 0

(d) $\frac{5 π}{9}$

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Answer:

Correct Answer: 11. (d)

Solution:

Given, $\sqrt{3} \sec x + cosec x + 2 (\tan x - \cot x) = 0$ ,

$(- π < x < π) - 0, \pm π / 2$

$\Rightarrow \sqrt{3} \sin x + \cos x + 2 (\sin^{2} x - \cos^{2} x) = 0$

$\Rightarrow \sqrt{3} \sin x + \cos x - 2 \cos 2 x = 0$

Multiplying and dividing by $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , i.e. $\sqrt{3 + 1} = 2$ , we get

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x - 2 \cos 2 x = 0$

$\Rightarrow \cos x \cdot \cos \frac{π}{3} + \sin x \cdot \sin \frac{π}{3} - \cos 2 x = 0$

$\begin{array}{ll} \Rightarrow & \cos x - \frac{π}{3} = \cos 2 x \\ ∴ & 2 x = 2 n π \pm x - \frac{π}{3} \overset{since, \cos θ = \cos α}{\Rightarrow} = 2 n π \pm α \\ \Rightarrow & 2 x = 2 n π + x - \frac{π}{3} \\ or & x = 2 n π - x + \frac{π}{3} \\ \Rightarrow & x = 2 n π - \frac{π}{3} or 3 x = 2 n π + \frac{π}{3} \\ \Rightarrow & x = \frac{2 n π}{3} + \frac{π}{9} \end{array}$

$∴ x = \frac{- π}{3} or x = \frac{π}{9}, \frac{- 5 π}{9}, \frac{7 π}{9}$

Now, sum of all distinct solutions

$= \frac{- π}{3} + \frac{π}{9} - \frac{5 π}{9} + \frac{7 π}{9} = 0$

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