SATHEE: Theory of Equations 5 Question 1

Theory of Equations 5 Question 1

1. The number of real roots of the equation $5 + | 2^{x} - 1 | = 2^{x} (2^{x} - 2)$ is

(2019 Main, 10 April II)

(a) 1

(b) 3

(d) 2

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Solution:

Given equation $5 + | 2^{x} - 1 | = 2^{x} (2^{x} - 2)$

Case I

If $2^{x} - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0$ ,

then $5 + 2^{x} - 1 = 2^{x} (2^{x} - 2)$

Put $2^{x} = t$ , then

$\begin{aligned} 5 + t - 1 = t^{2} - 2 t \Rightarrow t^{2} - 3 t - 4 = 0 \\ \Rightarrow t^{2} - 4 t + t - 4 = 0 \Rightarrow t (t - 4) + 1 (t - 4) = 0 \\ \Rightarrow t = 4 or - 1 \Rightarrow t = 4 (∵ t = 2^{x} > 0) \\ \Rightarrow 2^{x} = 4 \Rightarrow x = 2 > 0 \\ \Rightarrow x = 2 is the solution. \end{aligned}$

Case II

If $2^{x} - 1 < 0 \Rightarrow x < 0$ ,

then $5 + 1 - 2^{x} = 2^{x} (2^{x} - 2)$

Put $2^{x} = y$ , then $6 - y = y^{2} - 2 y$

$\Rightarrow y^{2} - y - 6 = 0 \Rightarrow y^{2} - 3 y + 2 y - 6 = 0$

$\Rightarrow (y + 2) (y - 3) = 0 \Rightarrow y = 3$ or -2

$\Rightarrow y = 3 ($ as $y = 2^{x} > 0) \Rightarrow 2^{x} = 3$

$\Rightarrow x = \log_{2} 3 > 0$

So, $x = \log_{2} 3$ is not a solution.

Therefore, number of real roots is one.

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1. The number of real roots of the equation 5+|2x−1|=2x(2x−2) is

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