Theory of Equations 1 Question 55

56. If α and β are the roots of the equation x2+px+1=0;γ,δ are the roots of x2+qx+1=0, then q2−p2=(α−γ)(β−γ)(α+δ)(β+δ)

(1978,2M)

Passage Type Questions

Let p,q be integers and let α,β be the roots of the equation, x2−x−1=0 where α≠β. For n=0,1,2,……, let an=pαn+qβn.

FACT : If a and b are rational numbers and a+b5=0, then a=0=b.

(2017 Adv.)

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Solution:

  1. Since, α+β=−p,αβ=1 and γ+δ=−q,γδ=1

Now, (α−γ)(β−γ)(α+δ)(β+δ)

=αβ−γ(α+β)+γ2αβ+δ(α+β)+δ2=1−γ(−p)+γ21+δ(−p)+δ2

=(1+γ2+γp)(1−δp+δ2)=(−qγ+γp)(−δp−δq)[∵γ2+qγ+1=0 and δ2+qδ+1=0]=(q2−p2)(γδ)=q2−p2

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