Theory of Equations 1 Question 52

53. If one root of the quadratic equation ax2+bx+c=0 is equal to the nth power of the other, then show that

(acn)1n+1+(anc)1n+1+b=0

(1983, 2M)

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Solution:

  1. Let α,β are roots of ax2+bx+c=0

Given, α=βn

⇒αβ=ca⇒βn+1=ca⇒β=ca1/(n+1)

It must satisfy ax2+bx+c=0

 i.e. aca2/(n+1)+bca1/(n+1)+c=0⇒a⋅c2/(n+1)a2/(n+1)+b⋅c1/(n+1)a1/(n+1)+c=0⇒c1/(n+1)a1/(n+1)a⋅c1/(n+1)a1/(n+1)+b+c⋅a1/(n+1)c1/(n+1)=0⇒an/(n+1)c1/(n+1)+b+cn/(n+1)a1/(n+1)=0⇒(anc)1/(n+1)+(cna)1/(n+1)+b=0

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