Theory of Equations 1 Question 46

47. Let f(x)=Ax2+Bx+C where, A,B,C are real numbers. prove that if f(x) is an integer whenever x is an integer, then the numbers 2A,A+B and C are all integers. Conversely, prove that if the numbers 2A,A+B and C are all integers, then f(x) is an integer whenever x is an integer.

(1998,3 M)

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Solution:

  1. Suppose f(x)=Ax2+Bx+C is an integer, whenever x is an integer.

∴f(0),f(1),f(−1) are integers.

⇒C,A+B+C,A−B+C are integers.

⇒C,A+B,A−B are integers.

⇒C,A+B,(A+B)−(A−B)=2A are integers.

Conversely, suppose 2A,A+B and C are integers.

Let n be any integer. We have,

f(n)=An2+Bn+C=2An(n−1)2+(A+B)n+C

Since, n is an integer, n(n−1)/2 is an integer. Also, 2A,A+B and C are integers.

We get f(n) is an integer for all integer n.

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