SATHEE: Theory of Equations 1 Question 4

Theory of Equations 1 Question 4

4. If $α$ and $β$ are the roots of the equation $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ , then the least value of $n$ for which $\frac{α}{β}^{n} = 1$ is

(a) 2

(b) 5

(c) 4

(d) 3

(2019 Main, 8 April I)

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Solution:

Given, $α$ and $β$ are the roots of the quadratic equation,

$\Rightarrow \begin{array}{ll} x^{2} - 2 x + 2 = 0 \\ (x - 1)^{2} + 1 = 0 \end{array}$

$\begin{array}{lc} \Rightarrow & (x - 1)^{2} = - 1 \\ \Rightarrow & x - 1 = \pm i \\ \Rightarrow & x = (1 + i) or (1 - i) \end{array}$

Clearly, if $α = 1 + i$ , then $β = 1 - i$

According to the question $\frac{α}{β}^{n} = 1$

$\Rightarrow \frac{1 + i^{n}}{1 - i} = 1$

$\Rightarrow {\frac{(1 + i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}}^{n} = 1$ [by rationalization]

$\Rightarrow \frac{1 + i^{2} + 2 i}{1 - i^{2}}^{n} = 1 \Rightarrow {\frac{2 i}{2}}^{n} = 1 \Rightarrow i^{n} = 1$

So, minimum value of $n$ is 4 .

$[∵ i^{4} = 1]$

Key Idea

(i) First convert the given equation in quadratic equation.

(ii) Use, Discriminant, $D = b^{2} - 4 a c < 0$

Given quadratic equation is

$(1 + m^{2}) x^{2} - 2 (1 + 3 m) x + (1 + 8 m) = 0$

Now, discriminant

$\begin{aligned} D & = [- 2 (1 + 3 m)]^{2} - 4 (1 + m^{2}) (1 + 8 m) \\ = 4 [(1 + 3 m)^{2} - (1 + m^{2}) (1 + 8 m)] \\ = 4 [1 + 9 m^{2} + 6 m - (1 + 8 m + m^{2} + 8 m^{3})] \\ = 4 [- 8 m^{3} + 8 m^{2} - 2 m] \\ = - 8 m (4 m^{2} - 4 m + 1) = - 8 m (2 m - 1)^{2} \end{aligned}$

According to the question there is no solution of the quadratic Eq. (i), then

$\begin{aligned} D & < 0 \\ ∴ - 8 m (2 m - 1)^{2} & < 0 \Rightarrow m > 0 \end{aligned}$

So, there are infinitely many values of ’ $m$ ’ for which, there is no solution of the given quadratic equation.

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