SATHEE: Sequences and Series 4 Question 1

Sequences and Series 4 Question 1

1. The sum $\sum_{k = 1}^{20} k \frac{1}{2^{k}}$ is equal to

(2019 Main, 8 April II)

(a) $2 - \frac{11}{2^{19}}$

(b) $1 - \frac{11}{2^{20}}$

(c) $2 - \frac{3}{2^{17}}$

(d) $2 - \frac{21}{2^{20}}$

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Solution:

Let $S = \sum_{k = 1}^{20} k \frac{1}{2^{k}}$

$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2}} + \frac{3}{2^{3}} + \frac{4}{2^{4}} + \dots + \frac{20}{2^{20}}$

On multiplying by $\frac{1}{2}$ both sides, we get

$\frac{S}{2} = \frac{1}{2^{2}} + \frac{2}{2^{3}} + \frac{3}{2^{4}} + \dots + \frac{19}{2^{20}} + \frac{20}{2^{21}}$

On subtracting Eq. (ii) from Eq. (i), we get

$\begin{aligned} S - \frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \dots + \frac{1}{2^{20}} - \frac{20}{2^{21}} \\ \Rightarrow \frac{S}{2} = \frac{\frac{1}{2} 1 - \frac{1}{2^{20}}}{1 - \frac{1}{2}} - \frac{20}{2^{21}} \\ ∵ sum of GP = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}, r < 1 \end{aligned}$

$\begin{matrix} \frac{S}{2} = 1 - \frac{1}{2^{20}} - \frac{20}{2^{21}} = 1 - \frac{1}{2^{20}} - \frac{10}{2^{20}} = 1 - \frac{11}{2^{20}} \\ \Rightarrow S = 2 - \frac{11}{2^{19}} \end{matrix}$

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