SATHEE: Sequences and Series 2 Question 11

Sequences and Series 2 Question 11

12. The sum $V_{1} + V_{2} + \dots + V_{n}$ is

(a) $\frac{1}{12} n (n + 1) (3 n^{2} - n + 1)$

(b) $\frac{1}{12} n (n + 1) (3 n^{2} + n + 2)$

(c) $\frac{1}{2} n (2 n^{2} - n + 1)$

(d) $\frac{1}{3} (2 n^{3} - 2 n + 3)$

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Answer:

Correct Answer: 12. $\frac{n^{2} (n + 1)}{2}$

Solution:

Here, $V_{r} = \frac{r}{2} [2 r + (r - 1) (2 r - 1)] = \frac{1}{2} (2 r^{3} - r^{2} + r)$

$∴ Σ V_{r} = \frac{1}{2} [2 Σ r^{3} - Σ r^{2} + Σ r]$

$= \frac{1}{2} 2 {\frac{n (n + 1)}{2}}^{2} - \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{n (n + 1)}{2}$

$\Rightarrow = \frac{n (n + 1)}{12} [3 n (n + 1) - (2 n + 1) + 3]$

$= \frac{1}{12} n (n + 1) (3 n^{2} + n + 2)$

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