SATHEE: Properties of Triangles 2 Question 7

Properties of Triangles 2 Question 7

7. If $Δ$ is the area of a triangle with side lengths $a, b, c$ , then show that

$Δ \leq \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c) a b c}$

Also, show that the equality occurs in the above inequality if and only if $a = b = c$ .

$(2001, 6 M)$

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Correct Answer: 7. 4 sq units

Solution:

Given,

$Δ \leq \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c) a b c}$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{4 Δ} \sqrt{(a + b + c) a b c} \geq 1 \\ \Rightarrow \frac{(a + b + c) a b c}{16 Δ^{2}} \geq 1 \\ \Rightarrow \frac{2 s a b c}{16 Δ^{2}} \geq 1 \\ \Rightarrow \frac{s a b c}{8 \cdot s (s - a) (s - b) (s - c)} \geq 1 \\ \Rightarrow \frac{a b c}{8 (s - a) (s - b) (s - c)} \geq 1 \\ \Rightarrow \frac{a b c}{8} \geq (s - a) (s - b) (s - c) \end{aligned}$

Now, put $s - a = x \geq 0, s - b = y \geq 0, s - c = z \geq 0$

$\begin{aligned} s - a + s - b & = x + y \\ 2 s - a - b & = x + y \\ c & = x + y \end{aligned}$

Similarly, $a = y + z, b = x + z$

$\Rightarrow \frac{(x + y)}{2} \cdot \frac{(y + z)}{2} \cdot \frac{(x + z)}{2} \geq x y z$

which it true.

Now, equality will hold, if $x = y = z$

$\Rightarrow a = b = c$

$\Rightarrow$ Triangle is equilateral.

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7. If $Δ$ is the area of a triangle with side lengths $a, b, c$ , then show that

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