SATHEE: Properties of Triangles 1 Question 24

Properties of Triangles 1 Question 24

24. If in a triangle $A B C, a = 1 + \sqrt{3} c m, b = 2 c m$ and $∠ C = 60^{\circ}$ , then find the other two angles and the third side.

(1978, 3M)

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Solution:

Given that,

$\begin{array}{ll} a = 1 + \sqrt{3}, b = 2 and ∠ C = 60^{\circ} \\ We have, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C \\ \Rightarrow & c^{2} = (1 + \sqrt{3})^{2} + 4 - 2 (1 + \sqrt{3}) \cdot 2 \cos 60^{\circ} \\ \Rightarrow & c^{2} = 1 + 2 \sqrt{3} + 3 + 4 - 2 - 2 \sqrt{3} \\ \Rightarrow & c^{2} = 6 \\ \Rightarrow & c = \sqrt{6} \end{array}$

Using sine rule,

$\begin{aligned} \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \\ \Rightarrow \frac{1 + \sqrt{3}}{\sin A} = \frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ}} \\ ∴ \sin B = \frac{2 \sin 60^{\circ}}{\sqrt{6}} = \frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow B = 45^{\circ} \\ ∴ A = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ} \end{aligned}$

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