SATHEE: Properties of Triangles 1 Question 21

Properties of Triangles 1 Question 21

21. In a $△ A B C$ , the median to the side $B C$ is of length $\frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{3}}}$ and it divides the $∠ A$ into angles $30^{\circ}$ and $45^{\circ}$ . Find the length of the side $B C$ .

$(1985, 5 M)$

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Solution:

Let $A D$ be the median to the base $B C = a$ of $△ A B C$ and let $∠ A D C = θ$ , then

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{a}{2} + \frac{a}{2} \cot θ & = \frac{a}{2} \cot 30^{\circ} - \frac{a}{2} \cot 45^{\circ} \\ \cot θ & = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \end{aligned}$

Applying sine rule in $△ A D C$ , we get

$\frac{A D}{\sin (π - θ - 45^{\circ})} = \frac{D C}{\sin 45^{\circ}}$

$\begin{matrix} \Rightarrow \frac{A D}{\sin (θ + 45^{\circ})} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\ \Rightarrow A D = \frac{a}{\sqrt{2}} (\sin 45^{\circ} \cos θ + \cos 45^{\circ} \sin θ) \\ \Rightarrow A D = \frac{a}{\sqrt{2}} \frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}} = \frac{a}{2} (\cos θ + \sin θ) \\ \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{11 - 6 \sqrt{3}}} = \frac{a}{2} \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}} + \frac{2}{\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}} \\ \Rightarrow a = \frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}}{(\sqrt{3} + 1) \sqrt{11 - 6 \sqrt{3}}} = \frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^{2}} \sqrt{11 - 6 \sqrt{3}}} \\ = \frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{(4 + 2 \sqrt{3}) (11 - 6 \sqrt{3})}} \\ = \frac{2 \sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{44 - 24 \sqrt{3} + 22 \sqrt{3} - 36}} \\ = 2 \frac{\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}}{\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}} = 2 \end{matrix}$

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