SATHEE: Probability 4 Question 22

Probability 4 Question 22

22. Three players, $A, B$ and $C$ , toss a coin cyclically in that order (i.e. $A, B, C, A, B, C, A, B, \dots$ ) till a head shows. Let $p$ be the probability that the coin shows a head. Let $α, β$ and $γ$ be, respectively, the probabilities that $A, B$ and $C$ gets the first head. Prove that $β = (1 - p) α$ . Determine $α, β$ and $γ$ (in terms of $p$ ).

$(1998, 8$ M)

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Answer:

Correct Answer: 22. $\frac{23}{30}$

Solution:

Let $q = 1 - p =$ probability of getting the tail. We have,

$α =$ probability of $A$ getting the head on tossing firstly

$= P (H_{1}$ or $T_{1} T_{2} T_{3} H_{4}$ or $T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} H_{7}$ or $\dots)$

$= P (H) + P (H) P (T)^{3} + P (H) P (T)^{6} + \dots$

$= \frac{P (H)}{1 - P (T)^{3}} = \frac{p}{1 - q^{3}}$

Also,

$β =$ probability of $B$ getting the head on tossing secondly

$\begin{aligned} = P (T_{1} H_{2} or T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} H_{5} or T_{1} T_{2} T_{3} T_{4} T_{5} T_{6} T_{7} H_{8} or \dots) \\ = P (H) [P (T) + P (H) P (T)^{4} + P (H) P (T)^{7} + \dots] \\ = P (T) [P (H) + P (H) P (T)^{3} + P (H) P (T)^{6} + \dots] \\ = q α = (1 - p) α = \frac{p (1 - p)}{1 - q^{3}} \end{aligned}$

Again, we have

$\begin{aligned} α + β + γ & = 1 \\ γ & = 1 - (α + β) = 1 - \frac{p + p (1 - p)}{1 - q^{3}} \\ = 1 - \frac{p + p (1 - p)}{1 - (1 - p)^{3}} \\ = \frac{1 - (1 - p)^{3} - p - p (1 - p)}{1 - (1 - p)^{3}} \\ γ & = \frac{1 - (1 - p)^{3} - 2 p + p^{2}}{1 - (1 - p)^{3}} = \frac{p - 2 p^{2} + p^{3}}{1 - (1 - p)^{3}} \end{aligned}$

Also,

$α = \frac{p}{1 - (1 - p)^{3}}, β = \frac{p (1 - p)}{1 - (1 - p)^{3}}$

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