SATHEE: Probability 3 Question 27

Probability 3 Question 27

27. For any two events $A$ and $B$ in a sample space

(1991, 2M)

(a) $P \frac{A}{B} \geq \frac{P (A) + P (B) - 1}{P (B)}, P (B) \neq 0$ is always true

(b) $P (A \cap \bar{B}) = P (A) - P (A \cap B)$ does not hold

(d) $P (A \cup B) = 1 - P (\bar{A}) P (\bar{B})$ , if $A$ and $B$ are disjoint

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Solution:

We know that,

$P \frac{A}{B} = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{P (A) + P (B) - P (A \cup B)}{P (B)}$

$\begin{aligned} Since, P (A \cup B) < 1 \\ \Rightarrow - P (A \cup B) > - 1 \\ \Rightarrow P (A) + P (B) - P (A \cup B) > P (A) + P (B) - 1 \\ \Rightarrow \frac{P (A) + P (B) - P (A \cup B)}{P (B)} > \frac{P (A) + P (B) - 1}{P (B)} \\ \Rightarrow P \frac{A}{B} > \frac{P (A) + P (B) - 1}{P (B)} \end{aligned}$

Hence, option (a) is correct.

The choice (b) holds only for disjoint i.e. $P (A \cap B) = 0$

Finally, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$= P (A) + P (B) - P (A) \cdot P (B),$

if $A, B$ are independent

$= 1 - 1 - P (A) 1 - P (B) = 1 - P (\bar{A}) \cdot P (\bar{B})$

Hence, option (c) is correct, but option (d) is not correct.

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27. For any two events $A$ and $B$ in a sample space

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27. For any two events A and B in a sample space

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