SATHEE: Parabola 2 Question 30

Parabola 2 Question 30

9. The tangent at $(1, 7)$ to the curves $x^{2} = y - 6 x$ touches the circle $x^{2} + y^{2} + 16 x + 12 y + c = 0$ at

(a) $(6, 7)$

(b) $(- 6, 7)$

(d) $(- 6, - 7)$

(2005 2M)

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Answer:

Correct Answer: 9. $(- 1, 0)$

Solution:

The tangent at $(1, 7)$ to the parabola $x^{2} = y - 6 x$ is

$x (1) = \frac{1}{2} (y + 7) - 6$

[replacing $x^{2} \to x x_{1}$ and $2 y \to y + y_{1}$ ]

$\begin{aligned} \Rightarrow 2 x = y + 7 - 12 \\ \Rightarrow y = 2 x + 5 \end{aligned}$

which is also tangent to the circle

$x^{2} + y^{2} + 16 x + 12 y + c = 0$

i.e. $x^{2} + (2 x + 5)^{2} + 16 x + 12 (2 x + 5) + C = 0$ must have equal rools i.e., $α = β$

$\begin{aligned} \Rightarrow 5 x^{2} + 60 x + 85 + c = 0 \\ \Rightarrow α + β = \frac{- 60}{5} \\ \Rightarrow α = - 6 \\ ∴ x = - 6 and y = 2 x + 5 = - 7 \end{aligned}$

$∴$ Point of contact is $(- 6, - 7)$ .

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9. The tangent at $(1, 7)$ to the curves $x^{2} = y - 6 x$ touches the circle $x^{2} + y^{2} + 16 x + 12 y + c = 0$ at

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9. The tangent at (1,7) to the curves x2=y−6x touches the circle x2+y2+16x+12y+c=0 at

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9. The tangent at $(1, 7)$ to the curves $x^{2} = y - 6 x$ touches the circle $x^{2} + y^{2} + 16 x + 12 y + c = 0$ at