SATHEE: Matrices and Determinants 4 Question 26

Matrices and Determinants 4 Question 26

27. Let $λ$ and $α$ be real. Find the set of all values of $λ$ for which the system of linear equations

$\begin{aligned} λ x + (\sin α) y + (\cos α) z & = 0 \\ x + (\cos α) y + (\sin α) z & = 0 \end{aligned}$

$and - x + (\sin α) y - (\cos α) z = 0$

has a non-trivial solution.

For $λ = 1$ , find all values of $α$ .

$(1993, 5$ M)

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Answer:

Correct Answer: 27. $θ = n π, n π + (- 1)^{n} \frac{π}{6}, n \in Z$

Solution:

Given, $λ x + (\sin α) y + (\cos α) z = 0$

$x + (\cos α) y + (\sin α) z = 0$

and $- x + (\sin α) y - (\cos α) z = 0$ has non-trivial solution.

$\begin{aligned} ∴ Δ = 0 \\ \begin{matrix} \Rightarrow | \begin{array}{ccc} λ & \sin α & \cos α \\ 1 & \cos α & \sin α \\ - 1 & \sin α & - \cos α \end{array} | = 0 \\ \Rightarrow λ (- \cos^{2} α - \sin^{2} α) - \sin α (- \cos α + \sin α) \end{matrix} \\ \Rightarrow - λ + \sin α \cos α + \sin α \cos α - \sin^{2} α + \cos^{2} α = 0 \\ \Rightarrow λ = \cos 2 α + \sin 2 α \\ ∵ - \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a \sin θ + b \cos θ \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}} \\ ∴ - \sqrt{2} \leq λ \leq \sqrt{2} \end{aligned}$

Again, when $λ = 1, \cos 2 α + \sin 2 α = 1$

$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2 α + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2 α = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow \cos (2 α - π / 4) = \cos π / 4 \\ ∴ 2 α - π / 4 = 2 n π \pm π / 4 \\ \Rightarrow 2 α = 2 n π - π / 4 + π / 4 or 2 α = 2 n π + π / 4 + π / 4 \\ ∴ α = n π or n π + π / 4 \end{aligned}$

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