SATHEE: Matrices and Determinants 2 Question 41

Matrices and Determinants 2 Question 41

45. If $α$ be a repeated root of a quadratic equation $f (x) = 0$ and $A (x), B (x)$ and $C (x)$ be polynomials of degree 3,4 and 5 respectively, then show that

$| \begin{array}{lll} A (x) & B (x) & C (x) \\ A (α) & B (α) & C (α) \\ A^{'} (α) & B (α) & C^{'} (α) \end{array} |$

is divisible by $f (x)$ , where prime denotes the derivatives.

$(1984, 3$ M)

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Answer:

Solution:

Since, $α$ is repeated root of $f (x) = 0$ .

$∴ f (x) = a (x - α)^{2}, a \in$ constant $(\neq 0)$

Let $φ (x) = | \begin{array}{ccc} A (x) & B (x) & C (x) \\ A (α) & B (α) & C (α) \\ A^{'} (α) & B^{'} (α) & C^{'} (α) \end{array} |$

To show $φ (x)$ is divisible by $(x - α)^{2}$ , it is sufficient to show that $φ (α)$ and $φ^{'} (α) = 0$ .

$\begin{aligned} ∴ φ (α) = | \begin{array}{ccc} A (α) & B (α) & C (α) \\ A (α) & B (α) & C (α) \\ A^{'} (α) & B^{'} (α) & C^{'} (α) \end{array} | \\ = 0 [∵ R_{1} and R_{2} are identical] \\ Again, φ^{'} (x) = | \begin{array}{ccc} A^{'} (x) & B^{'} (x) & C^{'} (x) \\ A (α) & B (α) & C (α) \\ A^{'} (α) & B^{'} (α) & C^{'} (α) \end{array} | \end{aligned}$

$\begin{aligned} = 0 [∵ R_{1} and R_{3} are identical] \end{aligned}$

Thus, $α$ is a repeated root of $φ (x) = 0$ .

Hence, $φ (x)$ is divisible by $f (x)$ .

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