SATHEE: Matrices and Determinants 2 Question 15

Matrices and Determinants 2 Question 15

17. The number of distinct real roots of

$| \begin{matrix} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{matrix} | = 0$ in the interval $- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}$ is

(a) 0

(b) 2

(d) 3

(2001, 1M)

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Answer:

Correct Answer: 17. (c)

Solution:

Given, $| \begin{matrix} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{matrix} | = 0$

Applying $C_{1} \to C_{1} + C_{2} + C_{3}$

$| \begin{matrix} \sin x + 2 \cos x & \cos x & \cos x \\ \sin x + 2 \cos x & \sin x & \cos x \\ \sin x + 2 \cos x & \cos x & \sin x \end{matrix} |$

$= (2 \cos x + \sin x)$ $| \begin{matrix} 1 & \cos x & \cos x \\ 1 & \sin x & \cos x \\ 1 & \cos x & \sin x \end{matrix} | = 0$

Applying $R_{2} \to R_{2} - R_{1}, R_{3} \to R_{3} - R_{1}$

$(2 \cos x + \sin x)$ $| \begin{matrix} 1 & \cos x & \cos x \\ 0 & \sin x - \cos x & 0 \\ 0 & 0 & \sin x - \cos x \end{matrix} |$ =0

$\Rightarrow (2 \cos x + \sin x) (\sin x - \cos x)^{2} = 0$

$\Rightarrow 2 \cos x + \sin x = 0 or \sin x - \cos x = 0$

$\Rightarrow 2 \cos x = - \sin x or \sin x = \cos x$

$\Rightarrow \cot x = - 1 / 2$ gives no solution in $- \frac{π}{4} \leq x \leq \frac{π}{4}$

and $\sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = π / 4$

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