SATHEE: Limit Continuity and Differentiability 4 Question 4

Limit Continuity and Differentiability 4 Question 4

4. $Let f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{n} (x + n) x + \frac{n}{2} \dots x + \frac{n}{n}}{n! (x^{2} + n^{2}) x^{2} + \frac{n^{2}}{4} \dots x^{2} + \frac{n^{2}}{n^{2}}}$ ,

for all $x = 0$ . Then

(a) $f \frac{1}{2} \geq f (1)$

(b) $f \frac{1}{3} \leq f \frac{2}{3}$

(d) $\frac{f^{'} (3)}{f (3)} \geq \frac{f^{'} (2)}{f (2)}$

(2016 Adv.)

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Correct Answer: 4. (c)

Solution:

Given function $f (x) = [x] - \frac{x}{4}, x \in R$

Now, $lim_{x \to 4^{+}} f (x) = lim_{h \to 0} [4 + h] - \frac{4 + h}{4}$

$[∵$ put $x = 4 + h$ , when $x \to 4^{+}$ , then $h \to 0$ ]

$= lim_{h \to 0} (4 - 1) = 3$

and $lim_{x \to 4^{-}} f (x) = lim_{h \to 0} [4 - h] - \frac{4 - h}{4}$

$[∵$ put $x = 4 - h$ , when $x \to 4^{-}$

then $h \to 0]$

$= lim_{h \to 0} (3 - 0) = 3$

and $f (4) = [4] - \frac{4}{4} = 4 - 1 = 3$

$∵ lim_{x \to 4^{-}} f (x) = f (4) = lim_{x \to 4^{+}} f (x) = 3$

So, function $f (x)$ is continuous at $x = 4$ .

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Limit Continuity and Differentiability 4 Question 4

4. $Let f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{n} (x + n) x + \frac{n}{2} \dots x + \frac{n}{n}}{n! (x^{2} + n^{2}) x^{2} + \frac{n^{2}}{4} \dots x^{2} + \frac{n^{2}}{n^{2}}}$ ,

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Limit Continuity and Differentiability 4 Question 4

4. Letf(x)=limn→∞nn(x+n)x+n2…x+nnn!(x2+n2)x2+n24…x2+n2n2,

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4. $Let f (x) = lim_{n \to \infty} \frac{n^{n} (x + n) x + \frac{n}{2} \dots x + \frac{n}{n}}{n! (x^{2} + n^{2}) x^{2} + \frac{n^{2}}{4} \dots x^{2} + \frac{n^{2}}{n^{2}}}$ ,