SATHEE: Limit Continuity and Differentiability 1 Question 3

Limit Continuity and Differentiability 1 Question 3

4. $lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} x}{\sqrt{2} - \sqrt{1 + \cos x}}$ equals

(2019 Main, 8 April I)

(a) $4 \sqrt{2}$

(b) $\sqrt{2}$

(c) $2 \sqrt{2}$

(d) 4

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Answer:

Correct Answer: 4. (a)

Solution:

Given,

$lim_{x \to 1^{+}} \frac{(1 - | x | + \sin | 1 - x |) \sin \frac{π}{2} [1 - x]}{| 1 - x | [1 - x]}$

Put $x = 1 + h$ , then

$x \to 1^{+} \Rightarrow h \to 0^{+}$

$∴ lim_{x \to 1^{+}} \frac{(1 - | x | + \sin | 1 - x |) \sin \frac{π}{2} [1 - x]}{| 1 - x | [1 - x]}$

$= lim_{h \to 0^{+}} \frac{(1 - | h + 1 | + \sin | - h |) \sin \frac{π}{2} [- h]}{| - h | [- h]}$

$= lim_{h \to 0^{+}} \frac{(1 - (h + 1) + \sin h) \sin \frac{π}{2} [- h]}{h [- h]}$

$(∵ | - h | = h$ and $| h + 1 | = h + 1$ as $h > 0)$

$\begin{aligned} = lim_{h \to 0^{+}} \frac{(- h + \sin h) \sin \frac{π}{2} (- 1)}{h (- 1)} \\ (∵ [x] = - 1 for - 1 < x < 0 and h \to 0^{+} \Rightarrow - h \to 0) \\ = lim_{h \to 0^{+}} \frac{(- h + \sinh)}{- h} \sin \frac{- π}{2} \\ = lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin h}{h} - lim_{h \to 0^{+}} \frac{h}{h} \\ = lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin h}{h} - lim_{h \to 0^{+}} \frac{h}{h} = 1 - 1 = 0 ∵ lim_{h \to 0^{+}} \frac{\sin h}{h} = 1 \end{aligned}$

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