SATHEE: Inverse Circular Functions 3 Question 7

Inverse Circular Functions 3 Question 7

7. The value of $\cot \sum_{n = 1}^{23} \cot^{- 1} 1 + \sum_{k = 1}^{n} 2 k$ is

(2013 Main)

(a) $\frac{23}{25}$

(b) $\frac{25}{23}$

(d) $\frac{24}{23}$

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Answer:

Correct Answer: 7. (b)

Solution:

We have, $\cot \sum_{n = 1}^{23} \cot^{- 1} 1 + \sum_{k = 1}^{n} 2 k$

$\Rightarrow \cot \sum_{n = 1}^{23} \cot^{- 1} (1 + 2 + 4 + 6 + 8 + \dots + 2 n)$

$\Rightarrow \cot \sum_{n = 1}^{23} \cot^{- 1} 1 + n (n + 1)$

$\Rightarrow \cot \sum_{n = 1}^{23} \tan^{- 1} \frac{1}{1 + n (n + 1)}$

$\Rightarrow \cot \sum_{n = 1}^{23} \tan^{- 1} \frac{(n + 1) - n}{1 + n (n + 1)}$

$\Rightarrow \cot \sum_{n = 1}^{23} (\tan^{- 1} (n + 1) - \tan^{- 1} \ln n)$

$\Rightarrow \cot [(\tan^{- 1} 2 - \tan^{- 1} 1) + (\tan^{- 1} 3 - \tan^{- 1} 2)$

$+ (\tan^{- 1} 4 - \tan^{- 1} 3)] + \dots + (\tan^{- 1} 24 - \tan^{- 1} 23)]$

$\Rightarrow \cot (\tan^{- 1} 24 - \tan^{- 1} 1)$

$\Rightarrow \cot \tan^{- 1} \frac{24 - 1}{1 + 24 \cdot (1)} = \cot \tan^{- 1} \frac{23}{25}$

$= \cot \cot^{- 1} \frac{25}{23} = \frac{25}{23}$

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7. The value of cot⁡∑n=123cot−1⁡1+∑k=1n2k is

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7. The value of $\cot \sum_{n = 1}^{23} \cot^{- 1} 1 + \sum_{k = 1}^{n} 2 k$ is