SATHEE: Inverse Circular Functions 3 Question 3

Inverse Circular Functions 3 Question 3

3. If $α = \cos^{- 1} \frac{3}{5}, β = \tan^{- 1} \frac{1}{3}$ , where $0 < α, β < \frac{π}{2}$ , then $α - β$ is equal to

(a) $\tan^{- 1} \frac{9}{5 \sqrt{10}}$

(b) $\cos^{- 1} \frac{9}{5 \sqrt{10}}$

(c) $\tan^{- 1} \frac{9}{14}$

(d) $\sin^{- 1} \frac{9}{5 \sqrt{10}}$

(2019 Main, 8 April I)

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Answer:

Correct Answer: 3. (d)

Solution:

Given, $α = \cos^{- 1} \frac{3}{5}$ and $β = \tan^{- 1} \frac{1}{3}$

where, $0 < α, β < \frac{π}{2}$

Clearly, $α = \tan^{- 1} \frac{4}{3}$

So, $α - β = \tan^{- 1} \frac{4}{3} - \tan^{- 1} \frac{1}{3} = \tan^{- 1} \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{4}{3} \times \frac{1}{3}}$

$∵ \tan^{- 1} x - \tan^{- 1} y = \tan^{- 1} \frac{x - y}{1 + x y}$ , if $x y > - 1$

$= \tan^{- 1} \frac{1}{1 + \frac{4}{9}} = \tan^{- 1} \frac{9}{13}$

$= \sin^{- 1} \frac{9}{\sqrt{9^{2} + 13^{2}}} = \sin^{- 1} \frac{9}{\sqrt{250}}$

$= \sin^{- 1} \frac{9}{5 \sqrt{10}}$

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