SATHEE: Inverse Circular Functions 2 Question 11

Inverse Circular Functions 2 Question 11

11. Let $Missing \left or extra \right$ and $E_{2} = x \in E_{1} : \sin^{- 1} \log_{e} \frac{x}{x - 1}$ is a real number

(Here, the inverse trigonometric function $\sin^{- 1} x$ assumes values in $- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$ ). Let $f : E_{1} \to R$ be the function defined by $f (x) = \log_{e} \frac{x}{x - 1}$ and $g : E_{2} \to R$ be the function defined by $g (x) = \sin^{- 1} \log_{e} \frac{x}{x - 1}$ .

(2018 Adv.)

List I	List II
P. The range of $f$ is	1.	$- \infty, \frac{1}{1 - e} \cup \frac{e}{e - 1}, \infty$
Q.	The range of $g$ contains	2.	$(0, 1)$
The domain of $f$ contains	3.	$- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$
S. The domain of $g$ is	4.	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
	5.	$- \infty, \frac{e}{e - 1}$

The correct option is

(a) $P \to 4; Q \to 2; R \to 1; S \to 1$

(b) $P \to 3; Q \to 3; R \to 6; S \to 5$

(c) $P \to 4; Q \to 2; R \to 1; S \to 6$

(d) $P \to 4; Q \to 3; R \to 6; S \to 5$

Numerical Value Based

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Answer:

Correct Answer: 11. (c)

Solution:

We have,

$\begin{aligned} E_{1} = x \in R : x \neq 1 and \frac{x}{x - 1} > 0 \\ ∴ & E_{1} = \frac{x}{x - 1} > 0 \\ E_{1} = x \in (- \infty, 0) \cup (1, \infty) \end{aligned}$

and

$E_{2} = x \in E_{1} : \sin^{- 1} \log_{e} \frac{x}{x - 1}$ is a real number

$E_{2} = - 1 \leq \log_{e} \frac{x}{x - 1} \leq 1 \Rightarrow$

$e^{- 1} \leq \frac{x}{x - 1} \leq e$

Now, $\frac{x}{x - 1} \geq e^{- 1} \Rightarrow \frac{x}{x - 1} - \frac{1}{e} \geq 0$

$\Rightarrow \frac{e x - x + 1}{e (x - 1)} \geq 0 \Rightarrow \frac{x (e - 1) + 1}{(x - 1) e} \geq 0$

$\Rightarrow x \in - \infty, \frac{1}{1 - e} \cup (1, \infty)$

Also,

$\Rightarrow \frac{(e - 1) x - e}{x - 1} \geq 0$

$\Rightarrow x \in (- \infty, 1) \cup \frac{e}{e - 1}, \infty$

So, $E_{2} = - \infty, \frac{1}{1 - e} \cup \frac{e}{e - 1}, \infty$

$∴$ The domain of $f$ and $g$ are

$- \infty, \frac{1}{1 - e} \cup \frac{e}{e - 1}, \infty$

and Range of $\frac{x}{x - 1}$ is $R^{+} - 1$

$\Rightarrow$ Range of $f$ is $R - 0$ or $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Range of $g$ is $- \frac{π}{2}, \frac{π}{2} - 0$ or $- \frac{π}{2}, 0 \cup 0, \frac{π}{2}$

Now, $P \to 4, Q \to 2, R \to 1, S \to 1$

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