SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 9

Indefinite Integration 1 Question 9

10. The integral $\int_{1}^{e} {\frac{x}{e}}^{2 x} - {\frac{e}{x}}^{x} \log_{e} x d x$ is

equal to

(a) $\frac{3}{2} - e - \frac{1}{2 e^{2}}$

(b) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{e} - \frac{1}{2 e^{2}}$

(d) $\frac{3}{2} - \frac{1}{e} - \frac{1}{2 e^{2}}$

(2019 Main, 12 Jan II)

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Solution:

Let $I = \int_{1}^{e} {\frac{x}{e}}^{2 x} - {\frac{e}{x}}^{x} \log_{e} x d x$

Now, put $\frac{x^{x}}{e} = t \Rightarrow x \log_{e} \frac{x}{e} = \log t$

$\Rightarrow x (\log_{e} x - \log_{e} e) = \log t$

$\Rightarrow x \frac{1}{x} + (\log_{e} x - \log_{e} e) d x = \frac{1}{t} d t$

$\Rightarrow (1 + \log_{e} x - 1) d x = \frac{1}{t} d t \Rightarrow (\log_{e} x) d x = \frac{1}{t} d t$ Also, upper limit $x = e \Rightarrow t = 1$ and lower limit $x = 1 \Rightarrow$ $t = \frac{1}{e}$

$∴ I = \int_{1 / e}^{1} t^{2} - \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{t} d t \Rightarrow I = \int_{1 / e}^{1} (t - t^{- 2}) d t$

$I = \frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{t}_{\frac{1}{e}}^{1} = \frac{1}{2} + 1 - \frac{1}{2 e^{2}} + e = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2 e^{2}}$

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10. The integral $\int_{1}^{e} {\frac{x}{e}}^{2 x} - {\frac{e}{x}}^{x} \log_{e} x d x$ is

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10. The integral ∫1exe2x−exxloge⁡xdx is

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10. The integral $\int_{1}^{e} {\frac{x}{e}}^{2 x} - {\frac{e}{x}}^{x} \log_{e} x d x$ is