SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 84

Indefinite Integration 1 Question 84

85. Evaluate $\int_{0}^{1 / 2} \frac{x \sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ .

$(1984, 2 M)$

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Answer:

Correct Answer: 85. $- \frac{\sqrt{3}}{12} π + \frac{1}{2}$

Solution:

Let $I = \int_{0}^{1 / 2} \frac{x \sin^{- 1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ Put $^{- 1} x = θ \Rightarrow x = \sin θ$

$\Rightarrow d x = \cos θ d θ$

$∴ I = \int_{0}^{π / 6} \frac{θ \sin θ}{\sqrt{1 - \sin^{2} θ}} \cdot \cos θ d θ = \int_{0}^{π / 6} θ \sin θ d θ$

$= [- θ \cos θ]_{0}^{π / 6} + \int_{0}^{π / 6} \cos θ d θ$

$= - \frac{π}{6} \cos \frac{π}{6} + 0 + \sin \frac{π}{6} - \sin 0 = - \frac{\sqrt{3} π}{12} + \frac{1}{2}$

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85. Evaluate ∫01/2xsin−1⁡x1−x2dx.

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