SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 83

Indefinite Integration 1 Question 83

84. Evaluate $\int_{0}^{π / 2} \frac{x \sin x \cos x}{\cos^{4} x + \sin^{4} x} d x$ .

$(1985, 2 \frac{1}{2} M)$

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Answer:

Correct Answer: 84. $\frac{π^{2}}{16}$

Solution:

Let $I = \int_{0}^{π / 2} \frac{x \sin x \cdot \cos x}{\cos^{4} x + \sin^{4} x} d x$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{π / 2} \frac{\frac{π}{2} - x \sin \frac{π}{2} - x \cdot \cos \frac{π}{2} - x}{\sin^{4} \frac{π}{2} - x + \cos^{4} \frac{π}{2} - x} d x$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{π / 2} \frac{\frac{π}{2} - x \cdot \sin x \cos x}{\cos^{4} x + \sin^{4} x} d x$

$\Rightarrow I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x - \int_{0}^{π / 2} \frac{x \sin x \cdot \cos x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x$

$= \frac{π}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{\sin x \cdot \cos x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x} d x - I$

$\Rightarrow 2 I = \frac{π}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{\tan x \cdot \sec^{2} x}{\tan^{4} x + 1} d x$

$\Rightarrow 2 I = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} \frac{1}{1 + {(\tan^{2} x)}^{2}} d (\tan^{2} x)$

$\Rightarrow 2 I = \frac{π}{4} \cdot {[\tan^{- 1} t]}_{0}^{\infty} = \frac{π}{4} (\tan^{- 1} \infty - \tan^{- 1} 0)$

$\Rightarrow I = \frac{π^{2}}{16}$

[where, $t = \tan^{2} x$ ]

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