SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 82

Indefinite Integration 1 Question 82

83. Evaluate $\int_{0}^{π} \frac{x d x}{1 + \cos α \sin x}, 0 < α < π$ .

$(1986, 2 \frac{1}{2} M)$

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Answer:

Correct Answer: 83. $\frac{α π}{\sin α}$

Solution:

Let $I = \int_{0}^{π} \frac{x}{1 + \cos α \sin x} d x$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{π} \frac{(π - x)}{1 + \cos α \sin (π - x)} d x$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{π} \frac{(π - x)}{1 + \cos α \sin x} d x$

On adding Eqs. (i) and (ii), we get

$\begin{aligned} 2 I = π \int_{0}^{π} \frac{d x}{1 + \cos α \sin x} \\ \Rightarrow 2 I = π \int_{0}^{π} \frac{\sec^{2} \frac{x}{2} d x}{(1 + \tan^{2} \frac{x}{2}) + 2 \cos α \tan \frac{x}{2}} \end{aligned}$

Put $\tan \frac{x}{2} = t \Rightarrow \sec^{2} \frac{x}{2} d x = 2 d t$

$∴ 2 I = π \int_{0}^{\infty} \frac{2 d t}{1 + t^{2} + 2 t \cos α}$

$\Rightarrow 2 I = 2 π \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{(t + \cos α)^{2} + \sin^{2} α}$

$\begin{aligned} I & = \frac{π}{\sin α} \tan^{- 1} \frac{t + \cos α}{\sin α}_{0}^{\infty} \\ = \frac{π}{\sin α} [\tan^{- 1} (\infty) - \tan^{- 1} (\cot α)] \\ = \frac{π}{\sin α} \frac{π}{2} - \frac{π}{2} - α = \frac{α π}{\sin α} \\ ∴ I & = \frac{α π}{\sin α} \end{aligned}$

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