SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 4

Indefinite Integration 1 Question 4

5. The value of the integral $\int_{0}^{1} x \cot^{- 1} (1 - x^{2} + x^{4}) d x$ is

(a) $\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \log_{e} 2$

(b) $\frac{π}{2} - \frac{1}{2} \log_{e} 2$

(c) $\frac{π}{4} - \log_{e} 2$

(d) $\frac{π}{2} - \log_{e} 2$

(2019 Main, 9 April II)

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Solution:

Let $I = \int_{0}^{1} x \cot^{- 1} (1 - x^{2} + x^{4}) d x$

Now, put $x^{2} = t \Rightarrow 2 x d x = d t$

Lower limit at $x = 0, t = 0$

Upper limit at $x = 1, t = 1$

$∴ I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \cot^{- 1} (1 - t + t^{2}) d t$

$\begin{aligned} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{- 1} \frac{1}{1 - t + t^{2}} d t ∵ \cot^{- 1} x = \tan^{- 1} \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \tan^{- 1} \frac{t - (t - 1)}{1 + t (t - 1)} d t \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (\tan^{- 1} t - \tan^{- 1} (t - 1) d t \\ ∵ \tan^{- 1} \frac{x - y}{1 + x y} = \tan^{- 1} x - \tan^{- 1} y \\ ∵ \int_{0}^{1} \tan^{- 1} (t - 1) d t = \int_{0}^{1} \tan^{- 1} (1 - t - 1) d t = - \int_{0}^{1} \tan^{- 1} (t) d t \end{aligned}$

because $\int_{0}^{a} f (x) d x = \int_{0}^{a} f (a - x) d x$

So, $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (\tan^{- 1} t + \tan^{- 1} t) d t$

$= \int_{0}^{1} \tan^{- 1} t d t = {[t \tan^{- 1} t]}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

[by integration by parts method]

$= \frac{π}{4} - \frac{1}{2} {[\log_{e} (1 + t^{2})]}_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} \log_{e} 2$

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