SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 3

Indefinite Integration 1 Question 3

4. The value of $\int_{0} [\sin 2 x (1 + \cos 3 x)] d x$ , where $[t]$ denotes the greatest integer function, is

(2019 Main, 10 April I)

(a) $- π$

(b) $2 π$

(d) $π$

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Solution:

Given integral

$\begin{aligned} I = & \int_{0}^{2 π} [\sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x \\ = \int_{0}^{π} [\sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x \\ + \int_{π}^{2 π} [\sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x \\ = I_{1} + I_{2} (let) \end{aligned}$

Now, $I_{2} = \int_{π}^{2 π} [\sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x$

let $2 π - x = t$ , upper limit $t = 0$ and lower limit $t = π$

and $d x = - d t$

So, $I_{2} = - \int_{π}^{0} [- \sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x$

$= \int_{0}^{π} [- \sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x$

$\begin{aligned} ∴ I & = \int_{0}^{π} [\sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x & + \int_{0}^{π} [- \sin 2 x \cdot (1 + \cos 3 x)] d x \end{aligned}$

[from Eqs. (i) and (ii)]

$= \int_{0}^{π} (- 1) d x] [∵ [x] + [- x] = - 1, x \notin$ Integer $]$

$= - π$

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4. The value of $\int_{0} [\sin 2 x (1 + \cos 3 x)] d x$ , where $[t]$ denotes the greatest integer function, is

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4. The value of $\int_{0} [\sin 2 x (1 + \cos 3 x)] d x$ , where $[t]$ denotes the greatest integer function, is