SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 2

Indefinite Integration 1 Question 2

3. The integral $\int_{π / 6}^{π / 3} \sec^{2 / 3} x {cosec}^{4 / 3} x d x$ is equal to

(a) $3^{5 / 6} - 3^{2 / 3}$

(b) $3^{7 / 6} - 3^{5 / 6}$

(c) $3^{5 / 3} - 3^{1 / 3}$

(d) $3^{4 / 3} - 3^{1 / 3}$

(2019 Main, 10 April II)

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Solution:

Let $I = \int_{π / 6}^{π / 3} \sec^{2 / 3} x {cosec}^{4 / 3} x d x$

$\begin{aligned} = \int_{π / 6}^{π / 3} \frac{1}{\cos^{2 / 3} x \sin^{4 / 3} x} d x \\ = \int_{π / 6}^{π / 3} \frac{\sec^{2} x}{(\tan x)^{4 / 3}} d x \end{aligned}$

[multiplying and dividing the denominator by $\cos^{4 / 3} x$ ] Put, $\tan x = t$ , upper limit, at $x = π / 3 \Rightarrow t = \sqrt{3}$ and lower limit, at $x = π / 6 \Rightarrow t = 1 / \sqrt{3}$

and $\sec^{2} x d x = d t$

$So, \begin{aligned} I & = \int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{d t}{t^{4 / 3}} = \frac{t^{- 1 / 3}}{- 1 / 3} \\ = - 3 \frac{1}{3^{1 / \sqrt{3}}} - 3^{1 / 6} \\ = 3 \cdot 3^{1 / 6} - 3 \cdot 3^{- 1 / 6} \\ = 3^{7 / 6} - 3^{5 / 6} \end{aligned}$

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