SATHEE: Indefinite Integration 1 Question 10

Indefinite Integration 1 Question 10

11. The integral $\int_{π / 6}^{π / 4} \frac{d x}{\sin 2 x (\tan^{5} x + \cot^{5} x)}$ equals

(a) $\frac{1}{5} \frac{π}{4} - \tan^{- 1} \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

(b) $\frac{1}{20} \tan^{- 1} \frac{1}{9 \sqrt{3}}$

(c) $\frac{1}{10} \frac{π}{4} - \tan^{- 1} \frac{1}{9 \sqrt{3}}$

(d) $\frac{π}{40}$

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Solution:

Let $I = \int_{π / 6}^{π / 4} \frac{d x}{\sin 2 x (\tan^{5} x + \cot^{5} x)}$

$= \int_{π / 6}^{π / 4} \frac{(1 + \tan^{2} x) \tan^{5} x}{2 \tan x (\tan^{10} x + 1)} d x ∵ \sin 2 x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^{2} x}$

$= \frac{1}{2} \int_{π / 6}^{π / 4} \frac{\tan^{4} x \sec^{2} x}{(\tan^{10} x + 1)} d x$

Put $\tan^{5} x = t [∵ \sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x]$

$\Rightarrow 5 \tan^{4} x \sec^{2} x d x = d t$

$\begin{aligned} \begin{array}{ccc} x & {\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \\ t & {\frac{1}{\sqrt{3}}}^{5} & 1 \end{array} \\ ∴ I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} \int_{(1 / \sqrt{3})^{5}}^{1} \frac{d t}{t^{2} + 1} = \frac{1}{10} {(\tan^{- 1} (t))}_{(1 / \sqrt{3})^{5}}^{1} \\ = \frac{1}{10} \tan^{- 1} (1) - \tan^{- 1} \frac{1}{9 \sqrt{3}} \\ = \frac{1}{10} \frac{π}{4} - \tan^{- 1} \frac{1}{9 \sqrt{3}} \end{aligned}$

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