SATHEE: Functions 3 Question 6

Functions 3 Question 6

6. If $f (x) = 3 x - 5$ , then $f^{- 1} (x)$

$(1998, 2 M)$

(a) is given by $\frac{1}{3 x - 5}$

(b) is given by $\frac{x + 5}{3}$

(d) does not exist because $f$ is not onto

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Answer:

Correct Answer: 6. (a)

Solution:

We have a function $f : A \to R$ defined as, $f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

One-one Let $x_{1}, x_{2} \in A$ such that

$\begin{aligned} f (x_{1}) & = f (x_{2}) \\ \Rightarrow & \frac{2 x_{1}}{x_{1} - 1} & = \frac{2 x_{2}}{x_{2} - 1} \\ \Rightarrow & 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{1} & = 2 x_{1} x_{2} - 2 x_{2} \\ \Rightarrow & x_{1} & = x_{2} \end{aligned}$

Thus, $f (x_{1}) = f (x_{2})$ has only one solution, $x_{1} = x_{2}$

$∴ f (x)$ is one-one (injective)

Onto Let $x = 2$ , then $f (2) = \frac{2 \times 2}{2 - 1} = 4$

But $x = 2$ is not in the domain, and $f (x)$ is one-one function

$∴ f (x)$ can never be 4

Similarly, $f (x)$ can not take many values.

Hence, $f (x)$ is into (not surjective).

$∴ f (x)$ is injective but not surjective.

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6. If $f (x) = 3 x - 5$ , then $f^{- 1} (x)$