SATHEE: Functions 3 Question 5

Functions 3 Question 5

5. If the function $f : [1, \infty) \to [1, \infty)$ is defined by $f (x) = 2^{x (x - 1)}$ , then $f^{- 1} (x)$ is

(1999, 2M)

(a) ${\frac{1}{2}}^{x (x - 1)}$

(b) $\frac{1}{2} (1 + \sqrt{1 + 4 \log_{2} x})$

(d) not defined

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Answer:

Correct Answer: 5. (b)

Solution:

Given, $f (n) = \frac{n + 1}{\frac{n}{2}}$ , if $n$ is even,

and $\quad g(n)=n-(-1)^{n}={ $\begin{array}{l} n + 1, if n is odd n - 1, if n is even \end{array}$ \right.$

Now, $f(g(n))={ $\begin{array}{l} f (n + 1), if n is odd f (n - 1), if n is even \end{array}$ \right.$

$= \frac{\frac{n + 1}{2}, if n is odd}{\frac{n - 1}{2} = \frac{n}{2}, if n is even}$

$= f (x)$

$[∵$ if $n$ is odd, then $(n + 1)$ is even and if $n$ is even, then $(n - 1)$ is odd]

Clearly, function is not one-one as $f (2) = f (1) = 1$

But it is onto function.

$[∵$ If $m \in N$ (codomain) is odd, then $2 m \in N$ (domain) such that $f (2 m) = m$ and

if $m \in N$ codomain is even, then

$2 m - 1 \in N (domain) such that f (2 m - 1) = m]$

$∴$ Function is onto but not one-one

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5. If the function $f : [1, \infty) \to [1, \infty)$ is defined by $f (x) = 2^{x (x - 1)}$ , then $f^{- 1} (x)$ is

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5. If the function f:[1,∞)→[1,∞) is defined by f(x)=2x(x−1), then f−1(x) is

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5. If the function $f : [1, \infty) \to [1, \infty)$ is defined by $f (x) = 2^{x (x - 1)}$ , then $f^{- 1} (x)$ is