SATHEE: Functions 2 Question 5

Functions 2 Question 5

6. Let $a, b, c \in R$ . If $f (x) = a x^{2} + b x + c$ be such that $a + b + c = 3$ and $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y, \forall x, y \in R$ , then $\sum_{n = 1}^{10} f (n)$ is equal to

(2017 Main)

(a) 330

(b) 165

(d) 255

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Answer:

Correct Answer: 6. (a)

Solution:

We have, $f (x) = a x^{2} + b x + c$

Now, $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y$

Put $y = 0 \Rightarrow f (x) = f (x) + f (0) + 0$

$\begin{array}{cc} \Rightarrow & f (0) = 0 \\ \Rightarrow & c = 0 \end{array}$

Again, put $y = - x$

$\begin{aligned} ∴ & f (0) & = f (x) + f (- x) - x^{2} \\ \Rightarrow & 0 & = a x^{2} + b x + a x^{2} - b x - x^{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \Rightarrow & 2 a x^{2} - x^{2} & = 0 \\ \Rightarrow & a & = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Also, $a + b + c = 3$

$\Rightarrow \frac{1}{2} + b + 0 = 3 \Rightarrow b = \frac{5}{2}$

$∴ f (x) = \frac{x^{2} + 5 x}{2}$

Now, $f (n) = \frac{n^{2} + 5 n}{2} = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{5}{2} n$

$∴ \sum_{n = 1}^{10} f (n) = \frac{1}{2} \sum_{n = 1}^{10} n^{2} + \frac{5}{2} \sum_{n = 1}^{10} n$

$\begin{aligned} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10 \times 11 \times 21}{6} + \frac{5}{2} \times \frac{10 \times 11}{2} \\ = \frac{385}{2} + \frac{275}{2} = \frac{660}{2} = 330 \end{aligned}$

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6. Let $a, b, c \in R$ . If $f (x) = a x^{2} + b x + c$ be such that $a + b + c = 3$ and $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y, \forall x, y \in R$ , then $\sum_{n = 1}^{10} f (n)$ is equal to

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6. Let a,b,c∈R. If f(x)=ax2+bx+c be such that a+b+c=3 and f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,∀x,y∈R, then ∑n=110f(n) is equal to

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6. Let $a, b, c \in R$ . If $f (x) = a x^{2} + b x + c$ be such that $a + b + c = 3$ and $f (x + y) = f (x) + f (y) + x y, \forall x, y \in R$ , then $\sum_{n = 1}^{10} f (n)$ is equal to