SATHEE: Functions 2 Question 4

Functions 2 Question 4

5. For $x \in R - 0, 1$ , let $f_{1} (x) = \frac{1}{x}, f_{2} (x) = 1 - x$ and $f_{3} (x) = \frac{1}{1 - x}$ be three given functions. If a function, $J (x)$ satisfies $(f_{2} \circ J \circ f_{1}) (x) = f_{3} (x)$ , then $J (x)$ is equal to

(2019 Main, 9 Jan I)

(a) $f_{2} (x)$

(b) $f_{3} (x)$

(c) $f_{1} (x)$

(d) $\frac{1}{x} f_{3} (x)$

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Answer:

Correct Answer: 5. (b)

Solution:

We have,

$f_{1} (x) = \frac{1}{x}, f_{2} (x) = 1 - x and f_{3} (x) = \frac{1}{1 - x}$

Also, we have $(f_{2} \circ J$ o $f_{1}) (x) = f_{3} (x)$

$\begin{array}{cc} \Rightarrow & f_{2} ((J o f_{1}) (x)) = f_{3} (x) \\ \Rightarrow & f_{2} (J (f_{1} (x)) = f_{3} (x) \\ \Rightarrow & 1 - J (f_{1} (x)) = \frac{1}{1 - x} \\ [∵ f_{2} (x) = 1 - x and f_{3} (x) = \frac{1}{1 - x}] \\ \Rightarrow & 1 - J \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - x} [∵ f_{1} (x) = \frac{1}{x}] \\ \Rightarrow & J \frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{1 - x} \\ = \frac{1 - x - 1}{1 - x} = \frac{- x}{1 - x} \end{array}$

Now, put $\frac{1}{x} = X$ , then

$\begin{aligned} J (X) & = \frac{\frac{- 1}{X}}{1 - \frac{1}{X}} \\ = \frac{- 1}{X - 1} = \frac{1}{1 - X} \end{aligned}$

$\Rightarrow J (X) = f_{3} (X) or J (x) = f_{3} (x)$

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