SATHEE: Functions 1 Question 15

Functions 1 Question 15

16. Find the range of values of $t$ for which

$2 \sin t = \frac{1 - 2 x + 5 x^{2}}{3 x^{2} - 2 x - 1}, t \in - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} .$

(2005, 2M)

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Answer:

Correct Answer: 16. $t \in - \frac{π}{2}, \frac{π}{10} \cup \frac{3 π}{10}, \frac{π}{2}$

Solution:

Given, $2 \sin t = \frac{1 - 2 x + 5 x^{2}}{3 x^{2} - 2 x - 1}, t \in - \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Put $2 \sin t = y \Rightarrow - 2 \leq y \leq 2$

$∴ y = \frac{1 - 2 x + 5 x^{2}}{3 x^{2} - 2 x - 1}$

$\Rightarrow (3 y - 5) x^{2} - 2 x (y - 1) - (y + 1) = 0$

Since, $x \in R - 1, - 1 / 3$

$\begin{aligned} [as, 3 x^{2} - 2 x - 1 \neq 0 \Rightarrow (x - 1) (x + 1 / 3) \neq 0] \\ ∴ D \geq 0 \\ \Rightarrow 4 (y - 1)^{2} + 4 (3 y - 5) (y + 1) \geq 0 \\ \Rightarrow y^{2} - y - 1 \geq 0 \\ \Rightarrow y - {\frac{1}{2}}^{2} - \frac{5}{4} \geq 0 \\ \Rightarrow y - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} y - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \geq 0 \\ \Rightarrow y \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ or y \geq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow 2 \sin t \leq \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ or 2 \sin t \geq \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \\ \Rightarrow \sin t \leq \sin - \frac{π}{10} \\ or \sin t \geq \sin \frac{3 π}{10} \\ \Rightarrow t \leq - \frac{π}{10} or t \geq \frac{3 π}{10} \end{aligned}$

Hence, range of $t$ is $- \frac{π}{2}, - \frac{π}{10} \cup \frac{3 π}{10}, \frac{π}{2}$ .

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