SATHEE: Ellipse 2 Question 7

Ellipse 2 Question 7

7. Equation of a common tangent to the parabola $y^{2} = 4 x$ and the hyperbola $x y = 2$ is

(2019 Main, 11 Jan I)

(a) $x + 2 y + 4 = 0$

(b) $x - 2 y + 4 = 0$

(d) $x + y + 1 = 0$

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Solution:

We know that, $y = m x + \frac{a}{m}$ is the equation of tangent to the parabola $y^{2} = 4 a x$ .

$∴ y = m x + \frac{1}{m}$ is a tangent to the parabola

$y^{2} = 4 x$ .

$[∵ a = 1]$

Let, this tangent is also a tangent to the hyperbola $x y = 2$

Now, on substituting $y = m x + \frac{1}{m}$ in $x y = 2$ , we get

$\begin{aligned} x m x + \frac{1}{m} & = 2 . \\ \Rightarrow m^{2} x^{2} + x - 2 m & = 0 \end{aligned}$

Note that tangent touch the curve exactly at one point, therefore both roots of above equations are equal.

$\begin{aligned} \Rightarrow D = 0 \Rightarrow 1 - 4 (m^{2}) (- 2 m) \Rightarrow m^{3} = - \frac{1}{2} \\ \Rightarrow m = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

$∴$ Required equation of tangent is

$\begin{aligned} y & = - \frac{x}{2} - 2 \\ \Rightarrow & 2 y & = - x - 4 \\ \Rightarrow & x + 2 y + 4 & = 0 \end{aligned}$

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