SATHEE: Ellipse 2 Question 15

Ellipse 2 Question 15

15. If $a > 2 b > 0$ , then positive value of $m$ for which $y = m x - b \sqrt{1 + m^{2}}$ is a common tangent to $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ and $(x - a)^{2} + y^{2} = b^{2}$ is

$(2002, 1$ M)

(a) $\frac{2 b}{\sqrt{a^{2} - 4 b^{2}}}$

(b) $\frac{\sqrt{a^{2} - 4 b^{2}}}{2 b}$

(c) $\frac{2 b}{a - 2 b}$

(d) $\frac{b}{a - 2 b}$

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Answer:

Correct Answer: 15. (a)

Solution:

Given, $y = m x - b \sqrt{1 + m^{2}}$ touches both the circles, so distance from centre $=$ radius of both the circles.

$\begin{aligned} \frac{| m a - 0 - b \sqrt{1 + m^{2}} |}{\sqrt{m^{2} + 1}} = b and \frac{| - b \sqrt{1 + m^{2}} |}{\sqrt{m^{2} + 1}} = b \\ \Rightarrow & | m a - b \sqrt{1 + m^{2}} | = | - b \sqrt{1 + m^{2}} | \\ \Rightarrow & m^{2} a^{2} - 2 a b m \sqrt{1 + m^{2}} + b^{2} (1 + m^{2}) = b^{2} (1 + m^{2}) \\ \Rightarrow & m a - 2 b \sqrt{1 + m^{2}} = 0 \\ \Rightarrow & m^{2} a^{2} = 4 b^{2} (1 + m^{2}) \\ ∴ & m = \frac{2 b}{\sqrt{a^{2} - 4 b^{2}}} \end{aligned}$

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