SATHEE: Differential Equations 2 Question 1

Differential Equations 2 Question 1

1. The general solution of the differential equation $(y^{2} - x^{3}) d x - x y d y = 0 (x \neq 0)$ is (where, $C$ is a constant of integration)

(2019 Main, 12 April II)

(a) $y^{2} - 2 x^{2} + C x^{3} = 0$

(b) $y^{2} + 2 x^{3} + C x^{2} = 0$

(c) $y^{2} + 2 x^{2} + C x^{3} = 0$

(d) $y^{2} - 2 x^{3} + C x^{2} = 0$

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Answer:

Correct Answer: 1. (b)

Solution:

Given differential equation is

$\begin{array}{cc} (y^{2} - x^{3}) d x - x y d y = 0, (x \neq 0) \\ \Rightarrow & x y \frac{d y}{d x} - y^{2} = - x^{3} \end{array}$

Now, put $y^{2} = t \Rightarrow 2 y \frac{d y}{d x} = \frac{d t}{d x} \Rightarrow y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \frac{d t}{d x}$

$∴ \frac{x}{2} \frac{d t}{d x} - t = - x^{3}$

$\Rightarrow \frac{d t}{d x} - \frac{2}{x} t = - 2 x^{2}$

which is the linear differential equation of the form

$\frac{d t}{d x} + P t = Q$

Here, $P = - \frac{2}{x}$ and $Q = - 2 x^{2}$ .

Now, IF $= e^{- \int \frac{2}{x} d x} = \frac{1}{x^{2}}$

$∵$ Solution of the linear differential equation is (IF) $t = \int Q$ (IF) $d x + λ$ [where $λ$ is integrating constant]

$\begin{aligned} ∴ t \frac{1}{x^{2}} = - 2 \int x^{2} \times \frac{1}{x^{2}} d x + λ \\ \Rightarrow \frac{t}{x^{2}} = - 2 x + λ \\ \Rightarrow \frac{y^{2}}{x^{2}} + 2 x = λ [∵ t = y^{2}] \\ \Rightarrow y^{2} + 2 x^{3} - λ x^{2} = 0 \\ or y^{2} + 2 x^{3} + C x^{2} = 0 [let C = - λ] \end{aligned}$

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