Differential Equations 1 Question 21

21. Which of the following is true?

(a) 0<f(x)<∞

(b) −12<f(x)<12

(c) −14<f(x)<1

(d) −∞<f(x)<0

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Solution:

  1. Here, f′′(x)−2f′(x)+f(x)≥ex

⇒f′′(x)e−x−f′(x)e−x−f′(x)e−x+f(x)e−x≥0

⇒ddxf′(x)e−x−ddxf(x)e−x≥1

⇒ddxf′(x)e−x−f(x)e−x≥1

⇒d2dx2e−xf(x)≥1,∀x∈[0,1]

∴φ(x)=e−xf(x) is concave function.

f(0)=f(1)=0⇒φ(0)=0=f(1)⇒φ(x)<0⇒e−xf(x)<0∴f(x)<0

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