SATHEE: Complex Numbers 5 Question 3

Complex Numbers 5 Question 3

3. Let $z_{0}$ be a root of the quadratic equation, $x^{2} + x + 1 = 0$ , If $z = 3 + 6 i z_{0}^{81} - 3 i z_{0}^{93}$ , then $\arg z$ is equal to

(a) $\frac{π}{4}$

(b) $\frac{π}{6}$

(d) $\frac{π}{3}$

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Answer:

Correct Answer: 3. (a)

Solution:

Given, $x^{2} + x + 1 = 0$

$\Rightarrow x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$

$[∵$ Roots of quadratic equation $a x^{2} + b x + c = 0$

are given by $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ]

$\Rightarrow z_{0} = ω, ω^{2} [$ where $ω = \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}$ and

$ω^{2} = \frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}$

are the cube roots of unity and $ω, ω^{2} \neq 1$ )

Now consider $z = 3 + 6 i z_{0}^{81} - 3 i z_{0}^{93}$

$\begin{aligned} = 3 + 6 i - 3 i (∵ ω^{3 n} = {(ω^{2})}^{3 n} = 1) \\ = 3 + 3 i = 3 (1 + i) \end{aligned}$

If ’ $θ$ ’ is the argument of $z$ , then

$\begin{aligned} \tan θ & = \frac{Im (z)}{Re (z)} [∵ z is in the first quadrant] \\ = \frac{3}{3} = 1 \Rightarrow θ = \frac{π}{4} \end{aligned}$

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3. Let $z_{0}$ be a root of the quadratic equation, $x^{2} + x + 1 = 0$ , If $z = 3 + 6 i z_{0}^{81} - 3 i z_{0}^{93}$ , then $\arg z$ is equal to

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3. Let $z_{0}$ be a root of the quadratic equation, $x^{2} + x + 1 = 0$ , If $z = 3 + 6 i z_{0}^{81} - 3 i z_{0}^{93}$ , then $\arg z$ is equal to