SATHEE: Complex Numbers 3 Question 4

Complex Numbers 3 Question 4

4. Let $z$ and $w$ be two complex numbers such that $| z | \leq 1$ , $| w | \leq 1$ and $| z + i w | = | z - i \bar{w} | = 2$ , then $z$ equals

$(1995, 2 M)$

(a) 1 or $i$

(b) $i$ or $- i$

(c) 1 or -1

(d) $i$ or -1

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Answer:

Correct Answer: 4. (c)

Solution:

Given,

$| z + i w | = | z - i \bar{w} | = 2$

$\begin{array}{ll} \Rightarrow & | z - (- i w) | = | z - (i \bar{w}) | = 2 \\ \Rightarrow & | z - (- i w) | = | z - (- i \bar{w}) | \end{array}$

$∴ z$ lies on the perpendicular bisector of the line joining $- i w$ and $- i \bar{w}$ . Since, $- i \bar{w}$ is the mirror image of $- i w$ in the $X$ -axis, the locus of $z$ is the $X$ -axis.

Let $z = x + i y$ and $y = 0$ .

Now, $| z | \leq 1 \Rightarrow x^{2} + 0^{2} \leq 1 \Rightarrow - 1 \leq x \leq 1$ .

$∴ z$ may take values given in option (c).

Alternate Solution

$\begin{aligned} | z + i w | \leq | z | + | i w | = | z | + | w | \\ \leq 1 + 1 = 2 \\ ∴ | z + i w | \leq 2 \\ \Rightarrow | z + i w | = 2 holds when \\ \arg z - \arg i w = 0 \\ \Rightarrow \arg \frac{z}{i w} = 0 \\ \Rightarrow \frac{z}{i w} is purely real. \\ \Rightarrow \frac{z}{w} is purely imaginary. \end{aligned}$

Similarly, when $| z - i \bar{w} | = 2$ , then $\frac{z}{\bar{w}}$ is purely imaginary

Now, given relation

$| z + i w | = | z - i \bar{w} | = 2$

Put $w = i$ , we get

$\begin{aligned} | z + i^{2} | & = | z + i^{2} | = 2 \\ | z - 1 | & = 2 \end{aligned}$

$\Rightarrow z = - 1 [∵ | z | \leq 1]$

Put $w = - i$ , we get

$\begin{aligned} \Rightarrow | z - i^{2} | = | z - i^{2} | = 2 \\ \Rightarrow | z + 1 | = 2 \Rightarrow z = 1 \\ ∴ z = 1 or - 1 is the correct option. \end{aligned} [∵ | z | \leq 1]$

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