SATHEE: Complex Numbers 3 Question 1

Complex Numbers 3 Question 1

1. Let $z_{1}$ and $z_{2}$ be any two non-zero complex numbers such that $3 | z_{1} | = 4 | z_{2} |$ . If $z = \frac{3 z_{1}}{2 z_{2}} + \frac{2 z_{2}}{3 z_{1}}$ , then

(2019 Main, 10 Jan I)

(a) $| z | = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{17}{2}}$

(b) $Im (z) = 0$

(d) $| z | = \sqrt{\frac{5}{2}}$

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Answer:

Correct Answer: 1. $(^{*})$

Solution:

(*) Given, $3 | z_{1} | = 4 | z_{2} | \Rightarrow \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |} = \frac{4}{3} [∵ z_{2} \neq 0 \Rightarrow | z_{2} | \neq 0]$

$∴ \frac{z_{1}}{z_{2}} = | \frac{z_{1}}{z_{2}} | e^{i θ}$ and $\frac{z_{2}}{z_{1}} = | \frac{z_{2}}{z_{1}} | e^{- i θ}$

$[∵ z = | z | (\cos θ + i \sin θ) = | z | e^{i θ}]$

$\Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{4}{3} e^{i θ}$ and $\frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{3}{4} e^{- i θ}$

$\Rightarrow \frac{3}{2} \frac{z_{1}}{z_{2}} = 2 e^{i θ}$ and $\frac{2}{3} \frac{z_{2}}{z_{1}} = \frac{1}{2} e^{- i θ}$

On adding these two, we get

$z = \frac{3}{2} \frac{z_{1}}{z_{2}} + \frac{2}{3} \frac{z_{2}}{z_{1}} = 2 e^{i θ} + \frac{1}{2} e^{- i θ}$

$= 2 \cos θ + 2 i \sin θ + \frac{1}{2} \cos θ - \frac{1}{2} i \sin θ$

$[∵ e^{\pm i θ} = (\cos θ \pm i \sin θ)]$

$= \frac{5}{2} \cos θ + \frac{3}{2} i \sin θ$

$\Rightarrow | z | = \sqrt{{\frac{5}{2}}^{2} + {\frac{3}{2}}^{2}} = \sqrt{\frac{34}{4}} = \sqrt{\frac{17}{2}}$

Note that $z$ is neither purely imaginary and nor purely real.

‘*’ None of the options is correct.

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Complex Numbers 3 Question 1

1. Let $z_{1}$ and $z_{2}$ be any two non-zero complex numbers such that $3 | z_{1} | = 4 | z_{2} |$ . If $z = \frac{3 z_{1}}{2 z_{2}} + \frac{2 z_{2}}{3 z_{1}}$ , then

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1. Let z1 and z2 be any two non-zero complex numbers such that 3|z1|=4|z2|. If z=3z12z2+2z23z1, then

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1. Let $z_{1}$ and $z_{2}$ be any two non-zero complex numbers such that $3 | z_{1} | = 4 | z_{2} |$ . If $z = \frac{3 z_{1}}{2 z_{2}} + \frac{2 z_{2}}{3 z_{1}}$ , then