SATHEE: Complex Numbers 2 Question 45

Complex Numbers 2 Question 45

46. $Express \frac{1}{(1 - \cos θ) + 2 i \sin θ}$ in the form $A + i B$ .

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Solution:

Now, $\frac{1}{(1 - \cos θ) + 2 i \sin θ} = \frac{1}{2 \sin^{2} \frac{θ}{2} + 4 i \sin \frac{θ}{2} \cos \frac{θ}{2}}$

$\begin{aligned} = \frac{1}{2 \sin \frac{θ}{2} \sin \frac{θ}{2} + 2 i \cos \frac{θ}{2}} \times \frac{\sin \frac{θ}{2} - 2 i \cos \frac{θ}{2}}{\sin \frac{θ}{2} - 2 i \cos \frac{θ}{2}} \\ = \frac{\sin \frac{θ}{2} - 2 i \cos \frac{θ}{2}}{2 \sin \frac{θ}{2} \sin^{2} \frac{θ}{2} + 4 \cos^{2} \frac{θ}{2}} \\ = \frac{\sin \frac{θ}{2} - 2 i \cos \frac{θ}{2}}{2 \sin \frac{θ}{2} 1 + 3 \cos^{2} \frac{θ}{2}} \\ \Rightarrow A + i B & = \frac{1}{2} 1 + 3 \cos^{2} \frac{θ}{2} - i \frac{\cot^{\frac{θ}{2}}}{1 + 3 \cos^{2} \frac{θ}{2}} \end{aligned}$

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46. Express1(1−cos⁡θ)+2isin⁡θ in the form A+iB.

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