SATHEE: Complex Numbers 2 Question 20

Complex Numbers 2 Question 20

20. The inequality $| z - 4 | < | z - 2 |$ represents the region given by

(1982, 2M)

(a) $Re (z) \geq 0$

(b) $Re (z) < 0$

(d) None of these

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Answer:

Correct Answer: 20. (b)

Solution:

Given, $| z - 4 | < | z - 2 |$

Since, $| z - z_{1} | > | z - z_{2} |$ represents the region on right side of perpendicular bisector of $z_{1}$ and $z_{2}$ .

$\begin{array}{ll} ∴ & | z - 2 | > | z - 4 | \\ \Rightarrow & Re (z) > 3 and Im (z) \in R \end{array}$

$∵ ω = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} and ω^{2} = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Now, $\frac{\sqrt{3} + i}{2} = - i \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2} = - i ω$

$and \frac{\sqrt{3} - i}{2} = i \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2} = i ω^{2}$

$∴ z = (- i ω)^{5} + {(i ω^{2})}^{5} = - i ω^{2} + i ω$

$= i (ω - ω^{2}) = i (i \sqrt{3}) = - \sqrt{3}$

$\Rightarrow Re (z) < 0$ and $lm (z) = 0$

Alternate Solution

We know that, $z + \bar{z} = 2 Re (z)$

$z = \frac{\sqrt{3}}{2} + {\frac{i}{2}}^{5} + \frac{\sqrt{3}}{2} - {\frac{i}{2}}^{5}, then$

$z$ is purely real. i.e. $Im (z) = 0$

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20. The inequality $| z - 4 | < | z - 2 |$ represents the region given by

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